Continuo-amortización hipoteca

El efecto de ganar 20% de interés anual de una inversión inicial de $1.000 en varias frecuencias de composición

Análoga a la maquinas continuas de compuesto, una anualidad continua es un anualidad ordinaria en que el intervalo de pago es reducido indefinidamente. (Teórico) hipoteca de amortización constante se paga una hipoteca por medio de una anualidad continua.

Hipotecas (es decir, préstamos hipotecarios) se colocan generalmente en un período de años por una serie de pagos regulares fijos comúnmente como un rentas vitalicias. Cada pago se acumula interés compuesto desde el momento del depósito hasta el final del ancho de la hipoteca en ese momento la suma de los pagos con sus intereses acumulados es igual al valor del préstamo con interés compuesto sobre el período entero. Préstamo dado P₀, por el período la tasa de interés i, número de períodos de n y fijo por periodo pago x, el final del término equilibrio ecuación es:

${\displaystyle P_ {0} (1 + i) ^ {n} = \sum _ {k = 1} ^ {n} x(1+i) ^ {n-k} = {\frac {x[(1+i) ^ {n} -1]} {i}}}$

Suma puede ser computado usando la fórmula estándar para la suma de un secuencia geométrica.

En una hipoteca de amortización constante (teórica) el intervalo de pago se enangosta indefinidamente hasta el intervalo discreto proceso llega a ser continuo y los pagos de intervalo fijo se convierten — en efecto — un efectivo literal "flujo" a una tasa anual fija. En este caso, dado el préstamo P₀, tasa de interés anual r, tiempo de préstamo T (años) y tasa de M_a, la infinitesimal elementos de flujo de efectivo M_aδt se acumulan continuamente compuesto interés de tiempo t hasta el final del periodo de préstamo momento en el que la ecuación de equilibrio es:

$P_ {0} e ^ {rT} = \int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(T-t)} \,dt= {\frac {M_{a}(e^{rT}-1)} {r}}.$

Suma de los elementos de flujo de efectivo y los intereses acumulados se efectúa por la integración como se muestra. Se supone que son compuesto intervalo y el intervalo de pago equal—i.e. capitalización de interés siempre se produce al mismo tiempo como deducción de pago.

Dentro del periodo del préstamo la función de equilibrio continuo hipoteca obedece a un de primer orden ecuación diferencial linear (LDE) una derivación alternativa misma puede obtenerse resolviendo el LDE utilizando el método de Laplace transforma.

Aplicación de la ecuación obtiene una serie de resultados relacionados con el proceso financiero que describe. Aunque este artículo se centra sobre todo en las hipotecas, los métodos empleados son relevantes para cualquier situación en la que pago o ahorro se efectúa mediante un flujo regular de pagos de intervalo fijo (anualidad).

Derivación de la ecuación de tiempo-continuo

La fórmula clásica para el valor presente de una serie de n cantidad de pagos mensuales fijos x invertido a una tasa de interés mensual i% es:

${\displaystyle P_ {v} (n) = {\frac {x(1-(1+i)^{-n})} {i}}}$

La fórmula puede ser se reorganizan para determinar el pago mensual x en un préstamo de cantidad P₀ tomado hacia fuera por un período de n meses a una tasa de interés mensual dei%:

${\displaystyle x = {\frac {P_ {0} \cdot i} {1-(1+i) ^ {-n}}}$

Comenzamos con un pequeño ajuste de la fórmula: reemplazar i con r/N donde r es la tasa de interés anual y N es la frecuencia anual de composición (períodosN = 12 pagos mensuales). También sustituir n con NT donde T es el período de préstamo total en años. En esta forma más general de la ecuación estamos calculando x(N) como el pago fijo correspondiente a la frecuencia N. Por ejemplo si N= 365, x corresponde a un pago fijo diario. Como N aumenta, x(N) disminuye pero el producto N·x(N) enfoques una limitación valor como aparecerá:

$x (N) = {\frac {P_ {0} \cdot r} {N (1-(1 + {\frac {r} {N}}) ^ {-NT})}}$

$N\cdot x (N) = {\frac {P_ {0} \cdot r} {1-(1 + {\frac {r} {N}}) ^ {-NT}}$

Tenga en cuenta que N·x(N) es simplemente la cantidad pagada por año – en efecto una tasa de amortización anual M_a.

Está bien establecido que:

${\displaystyle \lim _ {N\to \infty} \left (1 + {\frac {r} {N}} \right) ^ {Nt} = e ^ {rt}}$

Aplicando el mismo principio a la fórmula de devolución anual, podemos determinar un valor límite:

$M_ {un} = \lim _ {N\to \infty} N\cdot x (N) = \lim _ {N\to \infty} {\frac {P_ {0} \cdot r} {1-(1 + {\frac {r} {N}}) ^ {-NT}}} = {\frac {P_ {0} \cdot r} {1-e ^ {-rT}}}.$

En este punto en la fórmula ortodoxa para valor presente, este último es más bien representado en función de la frecuencia anual de composición N y el tiempot:

$P_ {v}(N,t) = {\frac {N\cdot x(N) (1-(1 + {\frac {r} {N}}) ^ {-Nt})} {r}}$

Aplicando la expresión limitante desarrollada anteriormente puede escribir valor actual como una función dependiente del tiempo puramente:

$P_ {v} (t) = \lim _ {N\to \infty} P_ {v}(N,t) = \frac {{M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})$

Figura 1

Tomando nota de que el saldo P(t) de un préstamo t años después de su creación es simplemente el valor presente de las contribuciones por el período restante (es decir T−t), determinamos:

$P (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)}) = {\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})} {1-e ^ {-rT}}$

El graph(s) en el diagrama es una comparación del balance adeudado en una hipoteca (1 millón por 20 años @ r = 10%) calculado en primer lugar según el modelo continuo del tiempo anterior y en segundo lugar mediante la función Excel PV. Como puede observarse que las curvas son prácticamente indistinguibles, cálculos efectuados utilizando el modelo difieren de los efectuados mediante la función Excel PV por un mero 0,3% (máximo). Pueden ver los datos de la que se deriva la graph(s) aquí.

Comparación con los sistemas físicos similares

Definir la variable "invertir tiempo" z = T−t. (t= 0, z=T y t=T, z= 0). A continuación:

Trazado en un tiempo eje normalizado al sistema de tiempo constante) τ = 1 / r años y τ = RC segundos respectivamente) la función de balance de la hipoteca en un CRM (verde) es una imagen espejo de la curva de respuesta de paso para un circuito RC (azul). El eje vertical se normaliza a la asíntota de sistema, es decir valor de perpetuidad M _a/ r para el CRM y el voltaje aplicado V ₀ para el circuito RC.

$P (z) = \frac {{M_{a}}{r}}(1-e^{-rz}).$

Esto puede ser reconocido como una solución a la ecuación diferencial "invertir tiempo":

${\displaystyle {\frac {M_ {un}} {r}} = {\frac {1} {r}} {\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).}$

Ingenieros eléctricos y electrónicos y físicos estarán familiarizados con una ecuación de este tipo: es un análogo exacto del tipo de ecuación diferencial que gobierna (por ejemplo) la carga de un condensador en un circuito RC.

$V_ {0} = RC {\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).$

Las características principales de tales ecuaciones se explican en detalle en Circuitos RC. Para los propietarios con hipotecas es el parámetro importante a tener en cuenta la constante de tiempo de la ecuación que es simplemente el recíproco de la tasa de interés anualr. Así que (por ejemplo) la constante de tiempo cuando la tasa de interés es del 10% es 10 años y el período de un préstamo hipotecario debe determinar – dentro de los límites de rentabilidad – como un múltiplo mínimo de esto si el objetivo es minimizar el interés pagado sobre el préstamo.

Diferencia de la hipoteca y la ecuación diferencial

El convencional ecuación de diferencia para un préstamo hipotecario es relativamente sencillo derivar - saldo debido en sucesivas cada periodo es el saldo anterior más por un periodo de interés menos la por un periodo fijado.

Dado un anual tasa de interés r y un prestatario con un anual capacidad de pago M_N (dividido en pagos iguales N, en intervalos de tiempo Δt donde Δt= 1 /Nlos años), nos podemos escribir:

${\begin{aligned}P_{t+\Delta t} & = P_ {t} + (rP_ {t}-M_ {N}) \Delta t\\ [12pt] {\dfrac {P_ {\Delta t + t}-P_ {t}} {\Delta t}} & = rP_ {t}-M_ {N} \end {alineado}}$

If N se incrementa indefinidamente para que Δt→ 0, obtenemos la ecuación diferencial de tiempo continuo:

${\displaystyle {\operatorname {d} p \over \operatorname {d} t} = rP (t)-M_ {un}}$

Tenga en cuenta que para que haya un equilibrio continuamente decreciente de la hipoteca, debe tener la siguiente desigualdad:

$P_ {0} \leqslant {\frac {M_ {un}} {r}}$

P₀ es el mismo que P(0) – el original préstamo importe o saldo de préstamos en tiempot= 0.

Resolver la ecuación de diferencia

Empezamos por re-escribir la ecuación de diferencia en forma recursiva:

$P_ {\Delta t + t} = P_ {t}(1+r\Delta t)-M_ {N} \Delta t\;$

Utilizando la notación P_n para indicar el saldo de la hipoteca después de n períodos, podemos aplicar la relación de repetición iterativa para determinar P₁ y P₂:

${\displaystyle P_ {1} = P_ {0} (1 + t r\Delta)-\Delta t\ M_ {N};}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2} & = [P_ {0} (1 + t r\Delta)-M_ {N} \Delta t](1+r\Delta t)-M_ {N} \Delta t\\ & = P_ {0} (1 + t r\Delta) ^ {2}-M_ {N} \Delta t(1+r\Delta t)-\Delta t\end M_ {N} {alineado}}}$

Ya se puede ver que los términos que contienen M_N forman una serie geométrica con cociente común 1 +rΔt. Esto nos permite escribir una expresión general para P_n:

${\begin{aligned}P_{n} & = P_ {0} (1 + r\Delta t) ^ {n}-\sum _ {k = 1} ^ {n} \Delta t(1+r\Delta t) M_ {N} ^ {n-k} \\ & = P_ {0} (1 + r\Delta t) ^ {n}-{\dfrac {M_ {N} \Delta t [(1 + r\Delta t) ^ {n} -1]} {r\Delta t}} \end {alineado}}$

Por último señalar que rΔt=i la tasa de interés por periodo y ${\displaystyle M_ {N} \Delta t = x}$ el por el pago del período, la expresión puede escribirse en forma convencional:

$P_ {n} = P_ {0} (1 + i) ^ {n}-{\dfrac {x[(1+i) ^ {n} -1]} {i}}$

Si el periodo de préstamo es períodos de m, entonces P_m= 0 y obtenemos la fórmula de valor actual estándar:

$P_ {0} = {\dfrac {x [1-(1+i) ^ {-m}]} {i}}$

Resolver la ecuación diferencial

${\displaystyle {\operatorname {d} p \over \operatorname {d} t} = rP (t)-M_ {un}}$

Es un método para resolver la ecuación para obtener el Transformación de Laplace P(s):

$P(s) = {\frac {M_{a}}{s(r-s)}} = {\frac {M_ {un}} {r}} \times {\frac {(-r)}{s(s-r)}}.$

Utilizando un tabla de transformadas de Laplace y sus equivalentes del dominio de tiempo, P(t) puede determinarse:

${\displaystyle P (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{rt}).}$

Para montar esta solución para el particular puntos de inicio y final de la función de la hipoteca tenemos que introducir un cambio del tiempo de T () añosT = período de préstamo) para la función llegue a cero al final del período de préstamo:

${\displaystyle {\begin{aligned} y P (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{r(t-T)}) \\ [8pt] & P_ {0} = {\frac {M_ {un}} {r}} (1-e ^ {-rT}) \Rightarrow {\frac {M_ {un}} {r}} = {\frac {P_ {0}} {1-e ^ {-rT}}} \\ [8pt] \Rightarrow y P (t) = {\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})} {1-e ^ {-rT}}} \end {alineado}}}$

Tenga en cuenta que la solución original y la versión "diferido" satisfacen la ecuación diferencial original donde ambos se derivan.

Similar a la expresión derivada por encima para P_n en la ecuación de diferencia, la expresión para P(t) puede escribirse de la siguiente forma equivalente algebraico:

${\displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

Cálculo de intereses acumulados y pagos de capital

Reordenación de la ecuación diferencial original, obtenemos:

$M_ {un} = rP (t)-{\frac {dP(t)} {dt}}$

Integrando ambos lados de la ecuación produce:

$M_ {un} .t = \int _ {0} ^ {t}: rP (t) \,dt\,-\int _ {0} ^ \,dt\ {t} {\frac {dP(t)} {dt}},$

La primera integral del lado derecho determina los pagos de intereses acumulados de tiempo de inicio al tiempo t mientras que la segunda determina los pagos de capital acumulados durante el mismo período. La suma de estos intereses y pagos de capital debe ser igual a los pagos fijos acumulativos en el tiempo t es decir M_at. Evaluar la integral primera de la derecha para que obtenemos una expresión I(t), el interés que paga:

${\displaystyle I (t) = M_ {un} t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)} {re ^ {rT}}}$

Como era de esperar la segunda integral se evalúa como P₀−P(t) y por lo tanto:

$I (t) = M_ {un} t-P_ {0} + P (t) \,$

El lector puede comprobar fácilmente que esta expresión es algebraico idéntica a la anterior.

Factor de costo de préstamo

El costo de un préstamo es simplemente la tasa anual multiplicada por el período de préstamo:

$C = M_ {un} T = {\frac {rT P_ {0}} {1-e ^ {-rT}}$

Deje que s=rT. Entonces podemos definir factor de coste de préstamo C(s) tal que C = P₀C(s) es decir: C(s) es el costo por unidad de moneda prestado.

$C(s) = {\frac {rT} {1-e ^ {-rT}}} = {\frac {s} {1-e ^ {-s}}$

La función de C(s) se caracteriza por tener un valor límite de 1, cuando s es cercano a cero desde valores pequeños de s, exp (−s) ≈ 1 −s y el denominador se simplifica as. También cuando s es muy grande, exp (−s) es pequeño para C(s) ≈s y así el costo de préstamos C≈P₀rT (rT>> 0).

A modo de ejemplo, considere un préstamo de 1000000 en el 10% pagado más de 20 años. Entonces s= 0,1 × 20 = 2.

$C=1000000\times {\frac {2} {1-e ^ {-2}}} \approx 2.313\times 10 ^ {6}$

El producto rT es un parámetro fácilmente obtenido pero importante en la determinación de préstamo costo según la ecuación C = P₀xC(s). Esto se ilustra mejor mediante el trazado de la función del factor de costo para valores de s en el dominio [0; 5]. El comportamiento lineal de la función para valores más altos de s está claro.

Factor equivalente interés simple costo

Para un préstamo de plazo fijo de años t, podemos comparar el factor de costo de préstamo anterior contra un factor de costo de interés simple equivalente 1 + s_e donde s_e=r_et y r_e es la tasa de interés simple equivalente:

${\frac {s} {1-e ^ {-s}}} = 1 + s_ {e}$

Es sencillo determinar s_e en cuanto a s. dividiendo por préstamo período t dará entonces la tasa de interés simple equivalente. Más difícil es la determinación inversa de s dado s_e.

En su libro Resolución de problemas con True Basic, Dr. B.D. Hahn tiene una sección corta en algunos regímenes de 'alquiler con opción compra' en el que se calculan los intereses por adelantado en un pago, que se agrega a la cantidad de capital, la suma se divide igualmente durante el período de reembolso. El comprador, sin embargo, es a menudo la impresión de que el interés se calcula en el equilibrio reduciendo.

El ejemplo anterior es una adaptación de una dada en libro de Dr. Hahn en el que emplea el algoritmo de Newton-Raphson para resolver el mismo problema aunque por un préstamo de reembolso (por ejemplo mensual) de intervalo discreto durante el mismo período de tiempo (3 años). Como con muchos ejemplos similares el problema del intervalo discreto y su solución se aproxima estrechamente por cálculos basados en el modelo de pago continua - de Dr. Hahn para tasa de interés es 40.8% en comparación con el 41,6% calculado anteriormente.

Período de préstamo

Si un prestatario puede pagar una tasa de amortización anual M_a, entonces podemos reorganizar la fórmula para el cálculo de M_a para obtener una expresión para el período de tiempo T de un préstamo dado P₀:

${\begin{aligned} & M_ {un} = {\frac {r P_ {0}} {1-e ^ {-rT}}} \\ [8pt] \Rightarrow & T = \ln {\frac {1} {r}} {\frac {M_ {un}} {M_ {un}-r P_ {0}}} =-{\frac {1} {r}} \ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end {alineado}}$

Relación de pago mínimo

La relación de pago mínimo de un préstamo es la relación de tasa de pago mínimo posible tasa de pago real. La tasa de pago mínimo posible es que sólo cubre el interés del préstamo – un prestatario en teoría pagaría esta cantidad para siempre porque nunca hay una disminución en el capital de préstamo. Utilizaremos la letra k para denotar el cociente mínimo de pago:

$k = {\frac {M_ {\min}} {M_ {un}}} = {\frac {r P_ {0}} {M_ {un}}$

Ahora podemos considerar una pequeña entrega de la ecuación para el período de préstamoT:

$T =-\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right) {\frac {1} {r}}$

$rT = s (k) =-\ln(1-k) \;$

Trazar s(k) contra k da una demostración muy gráfica de porqué es una buena idea para mantener la k valor muy por debajo de la asíntota en k= 1 puesto que en las proximidades s(k) aumenta bruscamente y por lo tanto tan préstamo costo que a su vez es una función creciente del parámetro s (rT producto).

"Vida media" de un préstamo

Un parámetro útil del modelo hipotecario es la "vida media" del préstamo que es el tiempo que tarda el saldo del préstamo a mitad de su valor original. Para determinar el "Half-Life" podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {p} {P_ {0}}} = {\frac {1} {2}} = {\frac {1-e^{-r(T-t)}} {1-e ^ {-rT}}}$

De problemas para t obtenemos:

$t_ {\frac {1} {2}} = {\frac {1} {r}} \ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)$

Por ejemplo, aplicando la fórmula a algunos datos de prueba (préstamo de 1 millón al 10% durante 20 años) obtenemos la vida media de años 14,34. Si en la práctica que el préstamo está siendo pagado mediante cuotas mensuales, la parte decimal puede ser convertida a meses y redondeada para que esta respuesta equivaldría a 172 meses.

Cálculo de tasa de interés

En el modelo de intervalo de tiempo discreto, no ha sido posible utilizando métodos analíticos de cálculo de una tasa de interés de la hipoteca en dado los parámetros restantes. Implementaciones como la función de "ritmo" de Excel emplean un método "prueba y mejora" numérico para determinar la tasa de interés. A primera vista esto parecería también ser el caso para el modelo de pago continua. Dado:

$P_ {0} = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})$

nosotros podemos escribir:

$rP_ {0} = M_ {un} (1-e ^ {-rT}) \,$

$\Rightarrow rP_ {0}-M_ {un} + M_ {un} e ^ {-rT} = 0$

Figura 1

Para visualizar lo anterior en función de r (para que queremos determinar ceros), será útil seleccionar valores numéricos de P₀, M_a y T como 10000, 6000 y 3 respectivamente y la trama como se muestra a la derecha. Se tendrá en cuenta que la función tiene un valor mínimo que puede ser determinado por la diferenciación:

$f'(r) = 0\,$

$\Rightarrow P_ {0}-M_ {a} Te ^ {-rT} = 0$

$\Rightarrow r = \ln {\frac {1} {T}} {\frac {T M_ {un}} {P_ {0}}$

Puesto que la función es aproximadamente parabólica entre las raíces en r= 0 y el valor buscado, podemos estimar la raíz requiere que:

$r\approx {\frac {2} {T}} \ln {\frac {T M_ {un}} {P_ {0}}$

Usando esto como punto de partida, valores cada vez más exactos de la raíz pueden ser determinados por repetidas iteraciones de la Algoritmo de Newton-Raphson:

$instalaci6n {1} = instalaci6n {0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}. \, \!$

Algunos experimentos en Wolfram Alpha revela que un solución analítica exacta empleando la Lambert-W o se puede obtener la función de "registro de producto". Ajuste s = M_aT/P₀ obtenemos:

${\displaystyle r = \frac {{1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)}$

En la región de interés W(−se^−s) es una función con valores de bi. El primer valor es a −s que da la solución trivial r= 0. El segundo valor evaluado en el contexto de la fórmula anterior proporciona la tasa de interés requerida.

La siguiente tabla muestra el cálculo de una estimación inicial de tasa de interés, seguida de algunas iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson. Hay rápida convergencia a una solución precisa a varios lugares decimales como puede corroborarse contra la solución analítica usando el Lambert W o función de "productlog" en Wolfram Alpha.

Préstamo (P)	Período de (T)	Tasa anual de pago (Ma)	Estimación inicial: (2) lnLau/P)/T
10000	3	6000	39.185778%

Iteraciones de Newton – Raphson

n	r(n)	f[r(n)]	f'[r(n)]
0	39.185778%	−229.57	4444.44
1	44.351111%	21.13	5241.95
2	43.948044%	0.12	5184.06
3	43.945798%	0	5183.74

Valor presente y valor futuro fórmulas

Correspondiente a la fórmula estándar para el valor presente de una serie de pagos mensuales fijos, hemos establecido ya un análogo continuo del tiempo:

${\displaystyle P_ {v} (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).}$

De manera similar, se puede determinar una fórmula de valor futuro:

$F_ {v} (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).$

En este caso la tasa anual de M_a se determina a partir de un objetivo de ahorro o fondo de amortización (futuro) especificado P_T como se indica a continuación.

$M_ {un} = \lim _ {N\to \infty} N\cdot x (N) = \lim _ {N\to \infty} {\frac {P_ {T} \cdot r} {(1 + {\frac {r} {N}}) ^ {NT} -1}} = {\frac {P_ {T} \cdot r} {e ^ {rT} -1}}.$

Se tendrá en cuenta que como cabría esperar:

$F_ {v} (t) = P_ {v} (t) \times e ^ {rt}. \,$

Otra forma de calcular el saldo P(t) de un préstamo de amortización continua es restar el valor futuro (en el tiempot) de la corriente del pago del valor futuro del préstamo (también en el tiempot):

$P (t) = P_ {0} e ^ {rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).$

Ejemplo

El siguiente ejemplo de un libro de texto escolar ilustrará la diferencia conceptual entre una anualidad de ahorro basado en intervalos de tiempo discreto (por mes en este caso) y basado en pago continuo empleando el futuro anterior fórmula de valor:

En su 30 cumpleaños, un inversionista decide que quiere acumular R500000 por su cumpleaños número 40. A partir de dentro de un mes que se decide a hacer pagos iguales mensuales en una cuenta que paga intereses al 12% anual compuesto mensualmente. ¿Qué pagos mensuales tendrá que hacer?

Aras de la brevedad, solucionamos el problema de "intervalo discreto" utilizando la función PMT de Excel:

$x (12) = PMT (1\$

El monto pagado anualmente por lo tanto sería 26082.57.

Para una anualidad de pago continuo teórico ahorro sólo podemos calcular anual tasa de de pago:

$M_ {un} = {\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10} -1}} = 25860.77$

En este punto existe la tentación de simplemente divida por 12 para obtener un pago mensual. Sin embargo esto contradice la hipótesis principal que se basa el modelo de "pago continuo": es decir, que el pago anual tasa de se define como:

${\displaystyle M_ {un} = \lim _ {N\to \infty} N\cdot x (N) \,}$

Ya que por supuesto es imposible para un inversor a hacer una veces infinita infinitamente pequeño pago anual, un banco u otra institución deseen ofrecer rentas vitalicias "pago continuo" o hipotecas, en la práctica, tendría que elegir un valor grande pero finito de N (frecuencia anual de los pagos) que el tiempo continuado fórmula será siempre correcta dentro de un margen mínimo de error previamente especificada. Por ejemplo cada hora fijado (calculado utilizando la fórmula convencional) en este ejemplo se acumulan a un pago anual de 25861.07 y el error sería < 0.02%. Si el margen de error es aceptable, la tarifa de pago por hora puede determinarse más simplemente dividiendo M_a por 365 × 24. La entidad acreedora (hipotética) entonces sería necesario asegurar que sus recursos informáticos son suficientes para aplicar (cuando sea necesario) deducciones por hora de cuentas de clientes. En definitiva efectivo "flujo" para las anualidades de pago continua debe entenderse en sentido muy literal de la palabra.

"el dinero pagado a un fondo en el mundo financiero se paga en discretos – generalmente igualmente espaciados – señala en tiempo calendario. En el proceso continuo el pago se realiza continuamente, como uno puede verter líquido de un recipiente a otro, donde la tasa de pago es la cantidad fundamental".

La tabla siguiente muestra cómo como N (frecuencia de composición anual) aumenta, la anual pago aproxima el valor límite de M_a, el pago anual tasa de. La diferencia (error) pago anual y el valor límite se calcula y se expresa como un porcentaje del valor límite.

Período de capitalización	Frecuencia (N)	Por período la tasa de interés	Por período pago x(N)	Pago anual	% Error
Bi-anual	2	% de 6.000000	13,592.28	27,184.56	5.118918%
Trimestralmente	4	% 3.000000	6,631.19	26,524.76	2.567558%
Mensual	12	1.000000%	2,173.55	26,082.57	0.857683%
Diario	365	0.032877%	70.87	25,868.07	0.028227%
Por hora	8760	0.001370%	2.95	25,861.07	0.001176%

Será evidente de lo anterior que el concepto de una hipoteca "continuo reembolso" es una construcción un tanto teórica. Si tiene valor práctico o no es una pregunta que tendría que ser considerado cuidadosamente por los economistas y actuarios. En particular, el significado de un pago anual tasa de debe entenderse claramente como se ilustra en el ejemplo anterior.

Sin embargo el modelo de "pago continuo" proporcionar algunas ideas significativas en el comportamiento de la función de balance de hipoteca discreta – en particular que en gran parte se rige por un constante de tiempo igual a la recíproca de la son la tasa de interés anual nominal. Y si fuera una hipoteca para pagar apagado mediante cantidades fijas diarias, entonces el saldo cálculos efectuados utilizando el modelo – en general – sería precisos dentro de una pequeña fracción de un por ciento. Finalmente el modelo demuestra que es la pequeña ventaja del titular hipotecario para aumentar la frecuencia de pago donde sea posible.

Resumen de fórmulas y calculadoras en línea

Tasa anual de pago (préstamo hipotecario): $M_ {un} = \lim _ {N\to \infty} N\cdot x (N) = {\frac {P_ {0} \cdot r} {1-e ^ {-rT}}$

Tasa anual de pago (fondo de amortización): $M_ {un} = \lim _ {N\to \infty} N\cdot x (N) = {\frac {P_ {T} \cdot r} {e ^ {rT} -1}}$

Valor futuro:        $F_ {v} (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)$

Valor actual:        $P_ {v} (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})$

Saldo del préstamo:        $P (t) = {\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})$

Período de préstamo:               $T =-\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right) {\frac {1} {r}}$

Período de préstamo:        $t_ {\frac {1} {2}} = {\frac {1} {r}} \ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)$

Tasa de interés:            $r\approx {\frac {2} {T}} \ln {\frac {T M_ {un}} {P_ {0}}$               $r = {\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right) {\text {con}} s = {\frac {M_ {} t} {P_ {0}}$

Calculadora de hipoteca universal. Teniendo en cuenta tres de las cuatro variables, este calcula el cuarto valor (desconocido).

Gráfico de hipoteca. Esto ilustra la curva característica de tiempo de vs hipoteca balance durante un periodo determinado préstamo. Monto del préstamo y préstamo tasa de interés (p/a) también se puede especificar. Un préstamo del intervalo discreto tendrá una característica muy similar.

Referencias

• Calculadora de hipotecas por aCalculator.com
• Beckwith, R.E. (junio de 1968). "Procesos financieros continuos". El diario financiero y análisis cuantitativo. 3 (2): 113-133. JSTOR 2329786. 
• Instituto de Georgia de la tecnología; Hackman, Steve. "ingeniería financiera: notas del curso ISyE 4803A" (PDF). Instituto de Georgia de la tecnología. 2009-04-27. 
• Glencross, M.J. (2007). Matemáticas: Grado 12 OBE. Una enseñanza eficaz editores, ciudad del cabo, RSA. ISBN 978-1-920116-36-1. 
• Munem, M.A.; D.J. de Foulis (1986). Álgebra y trigonometría con aplicaciones. Digno de editores, Estados Unidos. ISBN 0-87901-281-1. 
• Hahn, Brian D. (1989). Resolución de problemas con True Basic. Juta & Company Limited, ciudad del cabo, Sudáfrica. ISBN 0-7021-2282-3. 

Bibliografía

• Kreyszig, Erwin, Matemáticas de ingeniería avanzada (1998, editorial wiley, Estados Unidos), ISBN 0-471-15496-2.

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