Teoremas fundamentales de la economía del bienestar

Hay dos fundamentales Teoremas de de economía del bienestar.

La Primer teorema los Estados que un mercado tenderá hacia una equilibrio competitivo es débil Pareto óptimo Cuando el mercado mantiene los tres atributos siguientes:

1. mercados completados -No costos de transacción y debido a este cada actor también tiene información perfecta, y

2. tomar precio comportamiento -No hay monopolios y fácil entrada y salida de un mercado.

Además, el primer teorema establece que el equilibrio será completamente Pareto óptimo con la condición adicional de:

3. local nonsatiation de preferencias -Para cualquier paquete original de los bienes, existe otro paquete de bienes arbitrariamente cerca del paquete original, pero que se prefiere.

La Segundo teorema afirma que, de todos Pareto óptimos resultados posibles, uno puede alcanzar alguno particular aprobando un suma redistribución de la riqueza y luego dejando que el mercado asuma el control.

Implicaciones del primer teorema

El primer teorema se toma a menudo para ser una confirmación analítica de la Adam Smithde"mano invisible"hipótesis, es decir, que mercados competitivos tienden hacia una asignación eficiente de recursos. El teorema avala de no intervención en condiciones ideales: dejar que los mercados hagan el trabajo y el resultado será Pareto eficiente. Sin embargo, eficacia de Pareto no es necesariamente lo mismo que la conveniencia; simplemente indica que nadie puede hacer mejor sin alguien que hecho peor. Puede haber muchos posibles Pareto eficiente las asignaciones de recursos y no todos ellos sean igualmente deseables por la sociedad.

Esto aparece hacer el caso que la intervención tiene un lugar legítimo en política – las redistribuciones nos pueden permitir seleccionar de todos los resultados eficientes para uno que tiene otras características deseadas, como la equidad distributiva. El defecto es que por el teorema de hold, las transferencias tienen que ser alzado y el gobierno necesita tener información perfecta sobre los gustos de los consumidores individuales, así como las posibilidades de producción de las empresas. Una condición matemática adicional es que las preferencias y tecnologías de producción tienen que ser convexo.

El primer teorema de

El primer Teorema fundamental primero fue demostrado gráficamente por el economista ABBA Lerner y matemáticamente por los economistas Harold Hotelling, Oskar Lange, Maurice Allais, Kenneth Arrow y Gérard Debreu. El teorema sostiene bajo las condiciones generales.

La declaración formal del teorema es la siguiente: Si las preferencias son localmente nonsatiated y si (x *, y *, p) es un equilibrio de precio con las transferencias, entonces la asignación (x *, y *) es Pareto óptima. Un equilibrio en este sentido se refiere a una economía de intercambio sólo o presupone que las empresas son allocatively y productivo eficientes, que puede ser demostrado de mercados perfectamente competitivos de producción y factor.

Supongamos que los consumidores i tiene gran cantidad ${w_ \displaystyle {i}}$ tal manera que ${w_ _ {i} de \displaystyle \Sigma {i} = p\cdot \omega + \Sigma _ {j} p\cdot y_ {j} ^ {*}}$ donde $\omega$ es la dotación total de bienes y ${\displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ es la producción de la empresa j.

Maximización de preferencia (a partir de la definición de equilibrio de precio con las transferencias) implica:

If ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ entonces $p\cdot icadas {i} > w_ {i}$

En otras palabras, si un conjunto de bienes es estrictamente preferida a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ debe ser inasequible en el precio p. Nonsatiation local, además implica:

If $icadas {i} \geq icadas de _ {i} {i} ^ {*}$ entonces $p\cdot icadas {i} \geq w_ {i}$

A ver por qué, imagino que $icadas {i} \geq icadas de _ {i} {i} ^ {*}$ pero $p\cdot icadas {i} < w_ {i}$. Entonces por nonsatiation local podríamos encontrar ${\displaystyle x'_ {i}}$ arbitrariamente cerca de ${icadas \displaystyle {i}}$ (y tan todavía asequible), pero que es estrictamente preferida a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$. Pero ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ es el resultado de la maximización de la preferencia, así que esto es una contradicción.

Ahora considere una asignación $(x, y)$ que Pareto domina $(x ^ {*}, y ^ {*})$. Esto significa que $icadas {i} \geq icadas de _ {i} {i} ^ {*}$ para todos los i y ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ para algunos i. Por lo anterior, sabemos $p\cdot icadas {i} \geq w_ {i}$ para todos los i y $p\cdot icadas {i} > w_ {i}$ para algunos i. En Resumen, nos encontramos con:

$\Sigma _ {i} p\cdot icadas {i} > w_ _ {i} de \Sigma {i} = p\cdot \omega + \Sigma _ {j} p\cdot y_ {j} ^ {*}$

Porque $y ^ {*}$ es maximizar ganancias, sabemos $\Sigma _ {j} p\cdot y_ {j} ^ {*} \geq \Sigma _ {j} p\cdot y_ {j}$, por lo que $\Sigma _ {i} p\cdot icadas {i} > p\cdot \omega + \Sigma _ {j} p\cdot y_ {j}$. Por lo tanto, $(x, y)$ no es factible. Puesto que todas las asignaciones Pareto-domina no son factibles, $(x ^ {*}, y ^ {*})$ debe sí mismo ser Pareto óptima.

El segundo Teorema fundamental de

El segundo teorema establece formalmente que, bajo los supuestos que cada producción $Y_ {j}$ es convexo y cada relación de preferencia ${\displaystyle \geq _ {i}}$ es convexo y local nonsatiated, deseados puede apoyar una asignación Pareto eficiente como un precio cuasi-equilibrio con las transferencias. Otros supuestos son necesarios para probar esta afirmación para equilibrios de precio con las transferencias.

La prueba procede en dos pasos: en primer lugar, se demuestra que se puede apoyar cualquier asignación Pareto eficiente como un cuasi-equilibrio precio con transferencia; a continuación, le damos las condiciones bajo las cuales un cuasi-equilibrio precio también es un equilibrio de precio.

Nos definen un cuasi-equilibrio precio con transferencia como una asignación $(x ^ {*}, y ^ {*})$, un vector de precios py un vector de niveles de riqueza w (mediante la suma de transferencias) con ${w_ _ {i} de \displaystyle \Sigma {i} = p\cdot \omega + \Sigma _ {j} p\cdot y_ {j} ^ {*}}$ (donde $\omega$ es la dotación total de bienes y ${\displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ es la producción de la empresa j) tal que:

me. $p\cdot y_ {j} \leq p\cdot y_ {j} ^ {*}$ para todos los $y_ {j} \in Y_ {j}$ (empresas de maximizan ganancias mediante la producción de ${\displaystyle y_ {j} ^ {*}}$)

II. para todos i, si ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ entonces $p\cdot icadas {i} \geq w_ {i}$ (if ${icadas \displaystyle {i}}$ es estrictamente preferida a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ entonces no puede costar menos de ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$)

III. ${\displaystyle \Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*} = \omega + \Sigma y_ _ {j} {j} ^ {*}}$ (satisfacción de la restricción de presupuesto)

La única diferencia entre esta definición y la definición estándar de un equilibrio de precio con las transferencias está en () declaraciónii). La desigualdad es débil (aquí $p\cdot icadas {i} \geq w_ {i}$) lo que es un cuasi-equilibrio precio. Más tarde nos fortalecerá para hacer un equilibrio de precio. Definir $V_ {i}$ que el conjunto de todos los paquetes de consumo estrictamente preferido a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ por consumidor iy que V la suma de todos $V_ {i}$. $V_ {i}$ es convexo debido a la convexidad de la relación de preferencia ${\displaystyle \geq _ {i}}$. V es convexo porque cada $V_ {i}$ es convexo. Del mismo modo $Y + \ {\omega \}$, la Unión de todos los sistemas de producción $Y_ {i}$ Además de la dotación total, es convexo porque cada $Y_ {i}$ es convexo. También sabemos que la intersección de V y $Y + \ {\omega \}$ debe estar vacío, porque si no fuera implicaría existía un Haz que es estrictamente preferido a $(x ^ {*}, y ^ {*})$ por todo el mundo y también es asequible. Esto es descartado por la optimalidad de Pareto de $(x ^ {*}, y ^ {*})$.

Estos dos conjuntos convexos, no intersección nos permiten aplicar el Teorema del hiperplano de separación. Este teorema establece que existe un vector de precios ${\displaystyle p\neq 0}$ y un número r tal manera que $p\cdot z\geq r$ para cada $z\in V$ y $p\cdot z\leq r$ para cada $z\in Y + \ {\omega \}$. En otras palabras, existe un vector de precios que define un hiperplano que separa perfectamente los dos conjuntos convexos.

A continuación argumentamos eso si $icadas {i} \geq icadas de _ {i} {i} ^ {*}$ para todos los i entonces $p\cdot (\Sigma _ {i} icadas {i}) \geq r$. Esto es debido a nonsatiation local: debe ser un paquete ${\displaystyle x'_ {i}}$ arbitrariamente cerca de ${icadas \displaystyle {i}}$ es estrictamente preferida a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ y por lo tanto parte de $V_ {i}$, por lo que $p\cdot (\Sigma _ {i} x'_ {i}) \geq r$. Tomando el límite como $x' icadas de \rightarrow _ {i} {i}$ no cambia la desigualdad débil, tan $p\cdot (\Sigma _ {i} icadas {i}) \geq r$ tan bien. En otras palabras, ${icadas \displaystyle {i}}$ es en el cierre de V.

Utilizando a esta relación vemos que para ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ sí mismo $p\cdot (\Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*}) \geq r$. También sabemos que $\Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*} \in Y + \ {\omega \}$, por lo que $p\cdot (\Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*}) \leq r$ tan bien. La combinación de estos nos encontramos con que ${\displaystyle p\cdot (\Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*}) = r}$. Podemos usar esta ecuación para mostrar $(x ^ {*}, y ^ {*}, p)$ se ajusta a la definición de un cuasi-equilibrio precio con transferencia.

Porque ${\displaystyle p\cdot (\Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*}) = r}$ y ${\displaystyle \Sigma icadas de _ {i} {i} ^ {*} = \omega + \Sigma y_ _ {j} {j} ^ {*}}$ Sabemos que para cualquier empresa j:

$p\cdot (\omega + y_ {j} _ {h} de \Sigma y_ {h} ^ {*}) \leq r = p\cdot (\omega + y_ {j} ^ {*} + \Sigma _ {h} y_ {h} ^ {*})$ para $h\neq j$

lo que implica $p\cdot y_ {j} \leq p\cdot y_ {j} ^ {*}$. Del mismo modo sabemos que:

$p\cdot (icadas {i} + \Sigma _ {k} icadas {k} ^ {*}) \geq r = p\cdot (icadas {i} ^ {*} + \Sigma _ {k} icadas {k} ^ {*})$ para ${\displaystyle k\neq i}$

lo que implica $p\cdot icadas {i} \geq p\cdot icadas {i} ^ {*}$. Estas dos afirmaciones, junto con la viabilidad de la asignación en el Pareto óptimo, satisfacen las tres condiciones para un cuasi-equilibrio precio con transferencia apoyado por niveles de riqueza ${w_ \displaystyle {i} = icadas de p\cdot {i} ^ {*}}$ para todos los i.

Pasamos ahora a las condiciones bajo las cuales un cuasi-equilibrio precio también es un equilibrio de precio, en otras palabras, las condiciones bajo las cuales el instrucción "if ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ entonces $p\cdot icadas {i} \geq w_ {i}$«imples "if ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ entonces $p\cdot icadas {i} > w_ {i}$". Para que esto sea cierto ahora es necesario que Supongamos que ha definido el consumo $icadas {i}$ es convexa y la relación de preferencia ${\displaystyle \geq _ {i}}$ es continua. Entonces, si existe un vector de consumo ${\displaystyle x'_ {i}}$ tal manera que $x'_ {i} \in icadas {i}$ y $p\cdot x'_ {i} < w_ {i}$, un cuasi-equilibrio precio es un equilibrio de precio.

Para entender por qué, por el contrario asumir ${icadas \displaystyle {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$ y $p\cdot icadas {i} = w_ {i}$, y ${icadas \displaystyle {i}}$ existe. Entonces por la convexidad de $icadas {i}$ tenemos un paquete ${\displaystyle x'' _ {i} = \alpha icadas {i} +(1-\alpha) x'_ {i} \in icadas {i}}$ con ${\displaystyle p\cdot x'' _ {i} < w_ {i}}$. Por la continuidad de ${\displaystyle \geq _ {i}}$ para $\alpha$ cerca de 1 tenemos ${\displaystyle \alpha icadas {i} +(1-\alpha) x'_ {i} > icadas _ {i} {i} ^ {*}}$. Esto es una contradicción, ya que este paquete es preferible a ${icadas \displaystyle {i} ^ {*}}$ y los costos menos ${w_ \displaystyle {i}}$.

Por lo tanto, para que cuasi-equilibrios precio que equilibria precio es suficiente que el consumo ser convexa, la relación de preferencia a ser continuo y siempre que existe un consumo "más barato" del paquete ${\displaystyle x'_ {i}}$. Una manera de asegurar la existencia de tal un paquete es exigir niveles de riqueza ${w_ \displaystyle {i}}$ estrictamente positivos para todos los consumidores i.

Teoremas relacionados

Debido a la vinculación de la economía del bienestar a Teoría de la elección social, Teorema de imposibilidad de Arrow a veces aparece como un tercer Teorema fundamental.

Las condiciones ideales de los teoremas, sin embargo son una abstracción. La Teorema de Greenwald-Stiglitz, por ejemplo, afirma que en presencia de cualquiera información imperfecta, o mercados incompletos, los mercados no son Pareto eficiente. Así, en las economías del mundo real, el grado de estas variaciones de las condiciones ideales debe factor en decisiones de política. Además, incluso si mantiene estas condiciones ideales, el primer teorema del bienestar falla en un modelo de generaciones traslapadas.

Ver también

• Preferencias convexas
• Teoremas de Varian -un equilibrio competitivo es tanto Pareto-eficiente y libre de envidia.

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