Rentas vitalicias

Para otras aplicaciones, vea Anualidad (desambiguación).

Un rentas vitalicias es una serie de pagos iguales a intervalos regulares. Ejemplos de anualidades son depósitos regulares para una cuenta de ahorros, mensual préstamo hipotecario pagos, mensual seguro los pagos y Pensión pagos. Las anualidades se clasifican por la frecuencia de las fechas de pago. Los pagos (depósitos) se pueden hacer semanal, mensual, trimestral, anual o en cualquier otro intervalo de tiempo.

Una anualidad que provee pagos para el resto de la vida de una persona es un anualidad de vida.

Tipos

Las anualidades pueden ser clasificadas de varias maneras.

Calendario de pagos

Los pagos de un anualidad inmediata se hacen al final de períodos de pago, para que el interés se acumula entre el tema de la anualidad y el primer pago. Los pagos de un anualidades vencidas se hacen al principio de períodos de pago, así que inmediatamente se realiza un pago en cuestión.

Contingencia de los pagos

Son anualidades que proporcionan los pagos que se pagará durante un período que se conoce de antemano anualidades ciertas o rentas vitalicias garantizadas. Las anualidades pagadas sólo bajo ciertas circunstancias son anualidades contingentes Un ejemplo común es un anualidad de vida, que se paga durante la vida útil restante de la rentista. Ciertas y anualidades de vida están garantizados para ser pagado por un número de años y luego depende del vida del censualista.

Variabilidad de los pagos

• Anualidades fijas – Estas son las anualidades con pagos fijos. La compañía de seguros garantiza un retorno fijo sobre la inversión inicial. Anualidades fijas no están reguladas por la Securities and Exchange Commission.
• Anualidades variables – Registrado productos que están regulados por la SEC en los Estados Unidos de América. Permiten la inversión directa en varios fondos que se crean especialmente para anualidades variables. Por lo general, la compañía de seguros garantiza un cierto beneficio por fallecimiento o beneficios de retiro de por vida.
• Anualidades indexadas equidad – Rentas vitalicias con pagos vinculados a un índice. Por lo general, el pago mínimo será del 0% y el máximo será predeterminado. El rendimiento de un índice determina si se le atribuye al cliente el mínimo, máximo o algo intermedio.

Aplazamiento de pagos

Una anualidad que comienza los pagos solamente después de un período de un anualidad diferida. Una anualidad que comienza los pagos sin un período de aplazamiento es un anualidad inmediata.

Valoración

Valoración de una anualidad implica el cálculo de la valor actual de los pagos de la anualidad futura. La valoración de una anualidad implica conceptos tales como valor tiempo del dinero, tasa de interés, y valor futuro.

Anualidades ciertas

Si se conoce el número de pagos por adelantado, la anualidad es un anualidades ciertas o rentas vitalicias garantizadas. Valuación de anualidades ciertas se puede calcular usando fórmulas según el momento de los pagos.

Anualidad inmediata

Si los pagos se realizan al final de los periodos de tiempo, por lo que el interés se acumula antes del pago, la anualidad se llama un anualidad inmediata, o anualidad ordinaria. Anualidad inmediata pagos de hipoteca, interés están ganado antes de ser pagado.

	↓	↓	...	↓	pagos
———	———	———	———	—
0	1	2	...	n	períodos de

El valor actual de una anualidad es el valor de una corriente de los pagos, descontados por la tasa de interés para tener en cuenta el hecho de que los pagos se hacen en diversos momentos en el futuro. El valor actual se da en notación actuarial por:

$a_ {{\overline {n}} | i} = {\frac {1-\left(1+i\right) ^ {-n}} {i}},$$a_{{\overline {n}|i}}={\frac {1-\left(1+i\right)^{{-n}}}{i}},$

donde $n$$n$ es el número de términos y $me$$i$ es el por período la tasa de interés. Valor actual es lineal en la cantidad de pagos, por lo tanto el valor presente de los pagos, o Alquiler $R$$R$ es:

$PV (i, n, R) = R\times a_ {{\overline {n}} | i}$$PV(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}|i}}$

En la práctica, a menudo préstamos figuran por año mientras que el interés es compuesto y los pagos se realizan mensualmente. En este caso, el interés ${\displaystyle me}$$I$ se indica como una tasa de interés nominal, y $i = I / 12$$i=I/12$.

El valor futuro de una anualidad es la cantidad acumulada, incluyendo pagos y el interés de un flujo de pagos a una cuenta que devengue intereses. Para una anualidad inmediata, es el valor inmediatamente después del pago de n-ésimo. El valor futuro viene dado por:

${\displaystyle s_ {{\overline {n}} | i} = {\frac {(1+i) ^ {n} -1} {i}}}$$s_{{\overline {n}|i}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

donde $n$$n$ es el número de términos y $me$$i$ es el por período la tasa de interés. Valor futuro es lineal en la cantidad de pagos, por lo tanto el valor futuro para pagos, o Alquiler $R$$R$ es:

${\displaystyle FV (i, n, R) = R\times s_ {{\overline {n}} | i}}$$FV(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}|i}}$

Ejemplo: El valor actual de una anualidad de 5 años con tasa de interés anual nominal 12% y pagos mensuales de $100 son:

$PV(0.12/12,5\times 12,\$100) = \ $100\times a_ {{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50$$PV(0.12/12,5\times 12,\$100)=\$100\times a_{{\overline {60}|0.01}}=\$4,495.50$

El alquiler se entiende ya sea la cantidad pagada al final de cada período a cambio de un PV de la cantidad prestada al tiempo cero, la principal de préstamo o el monto pagado por una cuenta de intereses al final de cada período cuando se invierte la cantidad PV al tiempo cero, y la cuenta se convierte en cero con el retiro de n-ésimo.

Se relacionan con valores presente y futuro como:

$s_ {{\overline {n}} | i} =(1+i) ^ a_ {n} \times {{\overline {n}} | i}$$s_{{\overline {n}|i}}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}|i}}$

y

${\frac {1} {a_ {{\overline {n}} | i}}}-{\frac {1} {s_ {{\overline {n}} | i}}} = i$${\frac {1}{a_{{\overline {n}|i}}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}|i}}}}=i$

Prueba de la fórmula de anualidad inmediata

Para calcular el valor presente, el pago de la k-ésima debe ser descontado al presente dividiendo el interés, compuesto por términos de k. Por lo tanto, la contribución del pago de k-ésimo R sería R /(1+i) ^ k. Sólo teniendo en cuenta R que uno, entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{(Geom. series)}}\\&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}}\end{aligned}}}$${\begin{aligned}a_{{\overline n|i}}&=\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{{-n}}}{1-(1+i)^{{-1}}}}\right)\quad \quad {\text{(Geom. series)}}\\&={\frac {1-(1+i)^{{-n}}}{1+i-1}}\\&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{{n}}}{i}}\end{aligned}}$

que es el resultado deseado.

Del mismo modo, podemos probar la fórmula para el valor futuro. El pago efectuado al final del último año no acumularía ningún interés y el pago efectuado al final del primer año acumularía interés para un total de)n−1) años. Por lo tanto,

$s_ {{\overline {n}} | i} = 1 + (1 + i) +(1+i) ^ {2} + \cdots +(1+i) ^ {n-1} =(1+i) ^ a_ {n} {{\overline {n}} | i} = {\frac {(1+i) ^ {n} -1} {i}}$$s_{{\overline n|i}}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{{n-1}}=(1+i)^{n}a_{{\overline n|i}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$

Anualidades vencidas

Un anualidades vencidas es una anualidad cuyos pagos se hacen al principio de cada período. Depósitos de ahorro, pagos de alquiler o contrato de arrendamiento y primas de seguro son ejemplos de anualidades debido.

↓	↓	...	↓		pagos
———	———	———	———	—
0	1	...	n-1	n	períodos de

Cada pago de anualidad puede compuesto para un período adicional. Así, los valores presentes y futuros de una anualidad-pueden calcularse mediante la fórmula:

${\ddot {un}} _ {{\overline {n |}} i} =(1+i) \times a_ {{\overline {n |}} i} = {\frac {1-\left(1+i\right) ^ {-n}} {d}}$${\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}i}}={\frac {1-\left(1+i\right)^{{-n}}}{d}}$

y

${\displaystyle {\ddot {s}} _ {{\overline {n |}} i} =(1+i) \times s_ {{\overline {n |}} i} = {\frac {(1+i) ^ {n} -1} {d}}}$${\ddot {s}}_{{\overline {n|}i}}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}i}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}}$

donde $n$$n$ el número de términos, $me$$i$ es la por tasa de interés de plazo, y $d$$d$ es el tasa efectiva de descuento dada por $d=i/(i+1)$$d=i/(i+1)$.

Valores presentes y futuros de anualidades debido están relacionados como:

${\ddot {s}} _ {{\overline {n}} | i} =(1+i) ^ {n} \times {\ddot {un}} _ {{\overline {n}} | i}$${\ddot {s}}_{{\overline {n}|i}}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}|i}}$

y

${\frac {1} {{\ddot {un}} _ {{\overline {n}} | i}}}-{\frac {1} {{\ddot {s}} _ {{\overline {n}} | i}}} = d$${\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}|i}}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}|i}}}}=d$

Ejemplo: El valor final de una anualidad de 7 años-due con nominal tasa de interés 9% anual y pagos mensuales de $100:

$FV_ {por} (0.09/12,7\times 12, \ $100) = \ $100\times {\ddot {s}} _ {{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.$$FV_{{due}}(0.09/12,7\times 12,\$100)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}|0.0075}}=\$11,730.01.$

Tenga en cuenta que en Excel, las funciones de PV y FV asuman argumento quinto opcional que selecciona anualidad inmediata o anualidad debida.

Un vencimiento de anualidad con números pagos es la suma de un pago de anualidad ahora y una anualidad ordinaria con un pago menos y también igual, con un cambio de tiempo, para una anualidad ordinaria. Así tenemos:

${\ddot {un}} _ {{\overline {n |}} i} = R_ {{\overline {n}} | i}(1+i) = R_ {{\overline {n-1 |}} i} + 1$${\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}=a_{{\overline {n}|i}}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}i}}+1$ (valor en el momento de la primera de n pagos de 1)

${\displaystyle {\ddot {s}} _ {{\overline {n |}} i} = s_ {{\overline {n}} | i}(1+i) = s_ {{\overline {n + 1 |}} i} -1}$${\ddot {s}}_{{\overline {n|}i}}=s_{{\overline {n}|i}}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}i}}-1$ (valor de un período después de la hora de la última de n pagos de 1)

Perpetuidad

A perpetuidad es una anualidad para que los pagos continúan para siempre. Desde:

$\lim _ {n\, \rightarrow \,\infty} \,PV (i, n, R) \, = \, {\frac {R} {i}}$$\lim _{{n\,\rightarrow \,\infty }}\,PV(i,n,R)\,=\,{\frac {R}{i}}$

incluso un perpetuidad tiene un valor finito cuando hay una tasa de descuento cero. La fórmula de una perpetuidad es:

${\displaystyle a_ {{\overline {\infty}} | i} = 1 / i; \qquad {\ddot {un}} _ {{\overline {\infty}} | i} = 1/d.}$$a_{{\overline {\infty }|i}}=1/i;\qquad {\ddot {a}}_{{\overline {\infty }|i}}=1/d.$

donde $me$$i$ es la tasa de interés y $d=i/(1+i)$$d=i/(1+i)$ es la tasa de descuento efectiva.

Anualidades de vida

Valoración de los anualidades de vida puede realizarse mediante el cálculo de la valor actual actuarial de los pagos contingentes de vida futura. Tablas de vida se utilizan para calcular el probabilidad que el censualista vive a cada período de pago futuro. Valoración de rentas vitalicias también depende de la sincronización de pagos igual con las anualidades ciertas, sin embargo vitalicias pueden no calcular con fórmulas similares porque representa el valor actual actuarial de la probabilidad de muerte a cada edad.

Cálculos de amortización

Si una anualidad es para pagar una deuda P con interés, el monto adeudado después de n pagos es:

${\frac {R} {i}}-\left (1 + i\right) ^ {n} \left ({\frac {R} {i}}-P\right)$${\frac {R}{i}}-\left(1+i\right)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right)$

porque el esquema es equivalente a pedir prestado la cantidad $R / i$$R/i$ para crear una perpetuidad con cupón $R$$R$y poner $R/i-P$$R/i-P$ de prestado cantidad en el Banco para crecer con interés $me$$i$.

Además, esto puede considerarse como el valor presente de los pagos restantes:

$R\left [{\frac {1} {i}}-{\frac {(i+1) ^ {n-N}} {i}} \right] = R\times a_ {{\overline {N-n}} | i}$$R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{{n-N}}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}|i}}$

Véase también hipoteca de tasa fija.

Cálculos de ejemplo

Fórmula para encontrar la payment(R) periódica, dada A:

R = A/(1+〖(1-(1+((j/m)) 〗^(-(n-1))/(j/m))

Ejemplos:

1. Buscar el pago periódico de una anualidad debido de $70000, a pagar anualmente durante 3 años al 15% compuesto anualmente.
   • R = 70000/(1+〖(1-(1+((.15)/1)) 〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70000/2.625708885
   • R = $26659.46724
2. Buscar el pago periódico de una anualidad debido de $250700, pagaderos trimestralmente durante 8 años en el 5% compuesto trimestralmente.
   • R = 250700/(1+〖(1-(1+((.05)/4)) 〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250700/26.5692901
   • R = $9435,71

Encontrar la Payment(R) periódica, dada es:

R = S\,/((〖((1+(j/m)) 〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Ejemplos:

1. Buscar el pago periódico de un valor acumulado de $55000, pagaderos mensualmente durante 3 años al 15% compuesto mensual.
   • 〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1) R=55000/((〖((1+((.15)/12))
   • R = 55000/45.67944932
   • R = $1204,04
2. Buscar el pago periódico de un valor acumulado de $1600000, pagaderos anualmente por 3 años al 9% compuesto anualmente.
   • 〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1) R=1600000/((〖((1+((.09)/1))
   • R = 1600000/3.573129
   • R = $447786,80

Regímenes jurídicos

• Anualidades bajo ley americana
• Anualidades conforme al derecho europeo
• Anualidades bajo ley Suiza

Véase también

• Calculadora de amortización
• Hipoteca de tasa fija
• Anualidad de vida
• Perpetuidad
• Valor tiempo del dinero

Referencias

• Samuel A. Broverman (2010). Matemáticas de inversión y de crédito, 5ª edición. ACTEX serie académica. ACTEX publicaciones. ISBN 978-1-56698-767-7. 
• Stephen Kellison (2008). Teoría del interés, 3ª edición. McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9. 
• Valor de las tasas de anualidad

Otras Páginas

• Una fila, una pension
• Ficha personal (categoria Johnny Cash albumes recopilatorios)