Notación actuarial

Ejemplo de símbolo actuarial.
1. un caso de superior que A es una garantía de pago 1 en el evento asegurado. Minúscula un es una anualidad que paga 1 por año en el momento adecuado
2. barra implica continua - o pagada en el momento de la muerte; doble punto - supone pagó al principio del año; ninguna marca implica pagado al final del año
3. $x$$x$-persona del año de edad, para $n$$n$ años
4. pago, si $(x)$$(x)$ muere dentro de $n$$n$ años
5. () diferido $m$$m$ años)
6. ningún significado fijo, pero a menudo doble fuerza de interés

Notación actuarial es un método de taquigrafía para permitir actuarios registrar fórmulas matemáticas que se ocupan de tasas de interés y tablas de vida.

Notación tradicional utiliza un sistema Halo donde se colocan símbolos como superíndice o subíndice antes o después de la letra principal. Notación del ejemplo usando el sistema del halo puede verse a continuación.

Se hicieron varias propuestas a adoptar un sistema lineal donde la notación sería en una sola línea sin el uso de superíndices o subíndices. Este método sería útil para la informática donde la representación del sistema del halo puede ser extremadamente difícil. Sin embargo, un sistema estándar de la linear tiene todavía emerger.

Notación del ejemplo

Tasas de interés

$\,i$$\,i$ es la publicación anual tasa de interés efectiva, que es la "verdadera" tasa de interés sobre un año. Por lo tanto si la tasa de interés anual es del 12% entonces $\,i=0.12$$\,i=0.12$.

$\,i^{(m)}$$\,i^{{(m)}}$ es el tasa de interés nominal convertible $m$$m$ veces al año y es numéricamente igual a $m$$m$ veces la tasa efectiva de interés sobre una $m$$m$^th de un año. Por ejemplo, $\,i^{(2)}$$\,i^{{(2)}}$ es la tasa nominal de convertible de interés semestral. Si la tasa efectiva anual de interés es del 12%, entonces $\,i^{(2)} / 2$$\,i^{{(2)}}/2$ representa la tasa efectiva de interés cada seis meses. Desde $\, (1.0583) ^ {2} = 1.12$$\,(1.0583)^{{2}}=1.12$Tenemos ${\displaystyle \,i^{(2)} / 2 = 0.0583}$$\,i^{{(2)}}/2=0.0583$ y por lo tanto $\,i^{(2)} = 0.1166$$\,i^{{(2)}}=0.1166$. El ^"(m)" que aparece en el símbolo de $\,i^{(m)}$$\,i^{{(m)}}$ no es un "exponente. "Representa simplemente el número de conversiones de interés, o tiempos compuestos, por año. Capitalización semestral, (o conversión de interés cada seis meses), se utiliza con frecuencia en la valoración de bonos (véase también títulos de renta fija) y similares pasivo financiero monetario instrumentos, considerando que el inicio hipotecas con frecuencia convertir interés mensual. Retomando el ejemplo anterior donde $\,i=0.12$$\,i=0.12$Tenemos $\,i^{(12)} = 0.1139$$\,i^{{(12)}}=0.1139$ desde $\,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12$$\,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{{12}}=1.12$.

Tasas de interés efectivas y nominales no son iguales porque el interés pagado en la anterior medición períodos "gana" interés en períodos posteriores de medición; Esto se llama interés compuesto. Es decir, las tasas nominales de interés de crédito intereses a un inversor, (o bien la carga, o débitointereses a un deudor), más con frecuencia que hacen las tasas efectivas. El resultado es más frecuente de ingreso de interés para el inversionista, o gastos por intereses del deudor, cuando se utilizan las tasas nominales.

El símbolo de $\,v$$\,v$ representa el valor actual de 1 un año a partir de ahora:

$\,v={(1+i)} ^ {-1} \approx i 1 + i ^ {2}$$\,v={(1+i)}^{{-1}}\approx 1-i+i^{2}$

Este factor de valor presente, o factor de descuento, se utiliza para determinar la cantidad de dinero que se debe invertir ahora para tener una cantidad determinada de dinero en el futuro. Por ejemplo, si usted necesita 1 en un año, entonces la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: ${v \displaystyle \,1\times}$$\,1\times v$. Si usted necesita 25 en 5 años la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: $\,25\times v ^ {5}$$\,25\times v^{5}$.

${\displaystyle \,d}$$\,d$ es el tasa de descuento efectiva anual:

$d = {\frac {i} {1 + i}} \approx i-i ^ {2}$$d={\frac {i}{1+i}}\approx i-i^{2}$

El valor de ${\displaystyle \,d}$$\,d$ también se puede calcular de las siguientes relaciones: $\,(1-d)=v={(1+i)} ^ {-1}$$\,(1-d)=v={(1+i)}^{{-1}}$ La tasa de descuento es igual a la cantidad de intereses devengados durante un período de un año, dividido por el saldo de dinero al final de ese período. Por el contrario, una tasa efectiva anual de interés se calcula dividiendo el importe de los intereses devengados durante un período de un año por el saldo de dinero al principio del año. (Hoy) el valor actual de un pago de 1 que debe ser hecho $\,n$$\,n$ años en el futuro es $\,{(1-d)} ^ {n}$$\,{(1-d)}^{{n}}$. Esto es análogo a la fórmula ${\displaystyle \,{(1+i)} ^ {n}}$$\,{(1+i)}^{{n}}$ para el valor futuro (o acumulado) $\,n$$\,n$ años en el futuro de una cantidad de 1 inversión hoy.

$\,d^{(m)}$$\,d^{{(m)}}$, la tasa nominal de convertible de descuento $\,m$$\,m$ veces al año, es análoga a $\,i^{(m)}$$\,i^{{(m)}}$. Descuento se convierte en un $m$$m$^thbase - ly.

$\,\delta$$\,\delta$, la fuerza de interés, es el valor límite de la tasa nominal de interés cuando $m$$m$ aumenta sin límite:

$\,\delta = \lim _ {m\to \infty} i^{(m)}$$\,\delta =\lim _{{m\to \infty }}i^{{(m)}}$

En este caso, el interés es convertible continuamente.

La relación general entre $\,i$$\,i$, $\,\delta$$\,\delta$ y ${\displaystyle \,d}$$\,d$ es:

$\,(1+i) = \left (1 + {\frac {i^{(m)}} {m}} \right) ^ {m} = e ^ {\delta} = \left (1-{\frac {d^{(m)}} {m}} \right) ^ {-m} =(1-d) ^ {-1}$$\,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{{(m)}}}{m}}\right)^{{m}}=e^{{\delta }}=\left(1-{\frac {d^{{(m)}}}{m}}\right)^{{-m}}=(1-d)^{{-1}}$

Puede compararse con su valor numérico como sigue:

${\displaystyle \,i > i^{(2)} > i^{(3)} > \cdots > \delta > \cdots > d^{(3)} > d^{(2)} > d}$$\,i>i^{{(2)}}>i^{{(3)}}>\cdots >\delta >\cdots >d^{{(3)}}>d^{{(2)}}>d$

Tablas de vida

A tabla de vida (o una tabla de mortalidad) es una construcción matemática que muestra el número de personas vivas (basado en las hipótesis utilizadas para construir la tabla) a una edad determinada. Además el número de vidas restantes de cada edad, una tabla de mortalidad típicamente proporciona varias probabilidades asociadas con el desarrollo de estos valores.

${\displaystyle \,l_{x}}$$\,l_x$ es el número de personas vivas, en comparación con una cohorte original, en la edad $x$$x$. Edad aumenta el número de disminuciones de viva la gente.

$\,l_{0}$$\,l_0$ es el punto de partida para ${\displaystyle \,l_{x}}$$\,l_x$: el número de personas vivas en la edad 0. Esto se conoce como la Radix de la tabla. Algunas tablas de mortalidad comienzan a una edad mayor que 0, en cuyo caso la base es el número de personas que se supone que vivo en la edad más joven en la tabla.

$\omega$$\omega$ es la edad límite de las tablas de mortalidad. $\,l_{n}$$\,l_{n}$ es cero para todos $\,n\geq \omega$$\,n\geq \omega$.

$\,d_{x}$$\,d_{x}$ es el número de personas que mueren entre edad $x$$x$ y la edad $x + 1$$x+1$. $\,d_{x}$$\,d_{x}$ se puede calcular mediante la fórmula ${\displaystyle \,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$$\,d_{x}=l_{x}-l_{{x+1}}$

$\,q_{x}$$\,q_{x}$ es la probabilidad de muerte entre las edades de $x$$x$ y la edad $x + 1$$x+1$.

$\,q_{x}=d_{x}/l_{x}$$\,q_{x}=d_{x}/l_{x}$

$\,p_{x}$$\,p_{x}$ es la probabilidad de que una edad de vida $x$$x$ sobrevivirá a la edad $x + 1$$x+1$.

$\,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}$$\,p_{x}=l_{{x+1}}/l_{x}$

Desde las alternativas sólo posibles desde una edad ( $x$$x$) a la siguiente ( $x + 1$$x+1$) son vida y muerte, la relación entre estas dos probabilidades es:

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$$\,p_{x}+q_{x}=1$

Estos símbolos pueden extenderse también a varios años, introduciendo el número de años en la parte inferior izquierda del símbolo básico.

$\,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots + d_ {x + n-1} = {x} de l_-l_ {x + n}$$\,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{{x+1}}+\cdots +d_{{x+n-1}}=l_{x}-l_{{x+n}}$ muestra el número de personas que mueren entre edad $x$$x$ y la edad $x + n$$x+n$.

$\,_{n}q_{x}$$\,_{n}q_{x}$ es la probabilidad de muerte entre las edades de $x$$x$ y la edad $x + n$$x+n$.

$\,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}$$\,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}$

$\,_{n}p_{x}$$\,_{n}p_{x}$ es la probabilidad de que una edad de vida $x$$x$ sobrevivirá a la edad $x + n$$x+n$.

$\,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}$$\,_{n}p_{x}=l_{{x+n}}/l_{x}$

Otro dato que puede obtenerse de una tabla de vida es esperanza de vida.

$\,e_{x}$$\,e_{x}$ es la expectativa de vida acortada para una persona que viva en la edad $x$$x$. Este es el número esperado de años mas vivir (usted puede pensar en él como el número esperado de cumpleaños que celebrará la persona).

${_ \displaystyle \,e_{x}=\sum {t = 1} ^ {\infty} \ p_ _ {t} {x}}$$\,e_{x}=\sum _{{t=1}}^{{\infty }}\ _{t}p_{x}$

Una tabla de vida demuestra generalmente el número de personas vivas a edades integradas. Si necesitamos información sobre una fracción de un año, nos debe hacer suposiciones con respecto a la tabla, si no ya implícita por una fórmula matemática subyacente a la tabla. Una asunción común es la de una distribución uniforme de las muertes (UDD) en cada año de edad. Bajo este supuesto, $\,l_{x+t}$$\,l_{{x+t}}$ es un interpolación lineal entre ${\displaystyle \,l_{x}}$$\,l_x$ y $\,l_{x+1}$$\,l_{{x+1}}$. es decir

$\,l_{x+t}=(1-t) l_ {x} + tl_ {x + 1}$$\,l_{{x+t}}=(1-t)l_{x}+tl_{{x+1}}$

Rentas vitalicias

El símbolo básico para el valor actual de una rentas vitalicias es $\,a$$\,a$. Puede añadirse la siguiente notación:

• Notación para la parte superior derecha indica la frecuencia de pago (es decir, el número de pagos de la anualidad que se realizará durante cada año). La falta de tal notación significa que los pagos se hacen anualmente.
• Notación para la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza de la anualidad y el período para el cual se paga una anualidad.
• Notación directamente sobre el símbolo básico indica que cuando se realizan los pagos. Dos puntos indica una anualidad cuyos pagos se hacen al principio de cada año (un "anualidad-due"); una línea horizontal sobre el símbolo indica una anualidad a pagar continuamente (una "anualidad continua"); ninguna marca sobre el símbolo básico indica una anualidad cuyos pagos se hacen al final de cada año (un «anualidad inmediata»).

Si el pago en una anualidad es independiente de cualquier evento de la vida, se conoce como un anualidades ciertas. De lo contrario, en particular, si al fin los pagos a la beneficiariode muerte, se llama un anualidad de vida.

$a_ {{\overline {n |}} i}$$a_{{\overline {n|}i}}$ (leído a-ángulo-n en i) representa el valor actual de una anualidad inmediata, que es una serie de pagos de la unidad al final de cada año para $n$$n$ años (en otras palabras: el valor de un período antes de la primera de n pagos). Este valor se obtiene de:

$\,a_{{\overline {n |}} i} = v + v ^ {2} + \cdots + v ^ {n} = {\frac {1-v ^ {n}} {i}}$$\,a_{{\overline {n|}i}}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}$

${\ddot {un}} _ {{\overline {n |}} i}$${\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}$ representa el valor actual de un anualidad-due, que es una serie de pagos de la unidad al principio de cada año para $n$$n$ años (en otras palabras: el valor en el momento de la primera de n pagos). Este valor se obtiene de:

${\ddot {un}} _ {{\overline {n |}} i} = 1 + v + \cdots + v ^ {n-1} = {\frac {1-v ^ {n}} {d}}$${\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}=1+v+\cdots +v^{{n-1}}={\frac {1-v^{n}}{d}}$

$\,s_{{\overline {n |}} i}$$\,s_{{\overline {n|}i}}$ es el valor en el momento de efectuar el último pago, ${\ddot {s}} _ {{\overline {n |}} i}$${\ddot {s}}_{{\overline {n|}i}}$ el valor de un período más tarde.

Si el símbolo ${\displaystyle \,(m)}$$\,(m)$ se agrega a la esquina superior derecha, representa el valor actual de una anualidad cuyos pagos ocurren cada uno $m$$m$to de un año por un período de $n$$n$ años y cada pago es una $m$$m$TH de la unidad.

${\displaystyle a_ {{\overline {n |}} i}^{(m)} = {\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}$$a_{{\overline {n|}i}}^{{(m)}}={\frac {1-v^{n}}{i^{{(m)}}}}$, ${\ddot {un}} _ {{\overline {n |}} i}^{(m)} = {\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}$${\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}^{{(m)}}={\frac {1-v^{n}}{d^{{(m)}}}}$

${\overline {un}} _ {{\overline {n |}} i}$$\overline {a}_{{\overline {n|}i}}$ es el valor límite de ${\displaystyle \,a_{{\overline {n |}} i}^{(m)}}$$\,a_{{\overline {n|}i}}^{{(m)}}$ Cuando $m$$m$ aumenta sin limite. La anualidad subyacente se conoce como un anualidad constante.

${\overline {un}} _ {{\overline {n |}} i} = {\frac {1-v ^ {n}} {\delta}}$$\overline {a}_{{\overline {n|}i}}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}$

Los valores actuales de estas anualidades se pueden comparar como sigue:

$a_ {{\overline {n |}} i} < a_ {{\overline {n |}} i}^{(m)} < _ {\overline {un}} {{\overline {n |}} i} < _ {\ddot {un}} {{\overline {n |}} i}^{(m)} < _ {\ddot {un}} {{\overline {n |}} i}$$a_{{\overline {n|}i}}<a_{{\overline {n|}i}}^{{(m)}}<\overline {a}_{{\overline {n|}i}}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}^{{(m)}}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}i}}$

Para entender las relaciones que se muestra arriba, considerar que los flujos de efectivo pagados más tarde tienen un menor valor presente de flujos de efectivo de la misma cantidad total que se pagan en horas anteriores.

• El subíndice $me$$i$ que representa la tasa de interés podrá ser sustituido por $d$$d$ o $\delta$$\delta$y a menudo se omite si la tasa se conoce claramente del contexto.
• Al utilizar estos símbolos, la tasa de interés no es necesariamente constante a lo largo de la vida útil de las anualidades. Sin embargo, cuando la tasa varíe, las fórmulas anteriores ya no serán válidas; fórmulas particulares se pueden desarrollar para movimientos particulares de la tarifa.

Anualidades de vida

A anualidad de vida es una anualidad cuyos pagos son contingentes sobre la continua vida del censualista. La edad del censualista es una consideración importante en el cálculo de la valor actual actuarial de una anualidad.

• La edad del censualista se coloca en la parte inferior derecha del símbolo, sin una marca de "ángulo".

Por ejemplo:

${\displaystyle \,a_{65}}$$\,a_{{65}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año, pagadero al final de cada año hasta que muerte alguien actualmente la edad 65

$a_ {\overline {10 |}}$$a_{{\overline {10|}}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadero por 10 años con pagos al final de cada año

$a_ {65: {\overline {10 |}}$$a_{{65:\overline {10|}}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año durante 10 años, o hasta la muerte si es antes, a alguien actualmente la edad 65

$a_{65}^{(12)}$$a_{{65}}^{{(12)}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera 12 veces al año (unidad 1/12 por mes) hasta que muerte alguien actualmente la edad 65

${\ddot {un}} _ {65}$${{\ddot {a}}}_{{65}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadero al inicio de cada año hasta que muerte alguien actualmente la edad 65

o en general:

$a_ {x: {\overline {n |}} i}^{(m)}$$a_{{x:\overline {n|}i}}^{{(m)}}$, donde $x$$x$ es la edad del censualista, $n$$n$ es el número de años de los pagos (o hasta la muerte si antes), $m$$m$ es el número de pagos anuales, y $me$$i$ es la tasa de interés.

En aras de la simplicidad la notación es limitada y no es así, por ejemplo, mostrar si la anualidad es pagadera a un hombre o una mujer (lo que normalmente estaría determinada desde el contexto, incluso si la tabla se basa en las tasas de mortalidad masculina o femenina).

El valor actual Actuarial de los pagos contingentes de vida puede tratado como la esperanza matemática de una variable de aleatoria de valor presente, o calculado a través del formulario de pago actual.

Seguro de vida

El símbolo básico de una seguro de vida es $\,A$$\,A$. Puede añadirse la siguiente notación:

• Notación a la parte superior derecha indica el momento del pago de un beneficio por fallecimiento. Falta de notación significa que los pagos se realizan al final del año de la muerte. Una figura entre paréntesis (por ejemplo $A^{(12)}$$A^{{(12)}}$) significa que el beneficio es pagadero al final del período indicado (12 mensuales, 4 para trimestral; 2 para semestral; 365 para diario).
• Notación para la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza el seguro de vida.
• Notación directamente sobre el símbolo básico indica el "tipo" de seguro de vida, ya sea por pagar al final del período o inmediatamente. Una línea horizontal indica seguro de vida pagadero inmediatamente, mientras que ninguna marca de arriba que el símbolo indica que el pago debe hacerse al final del período indicado.

Por ejemplo:

${\displaystyle \,A_{x}}$$\,A_{x}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del año de la muerte.

$\,A_{x}^{(12)}$$\,A_{x}^{{(12)}}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del mes de la muerte.

$\,{\overline {A}} _ {x}$$\,\overline {A}_{x}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero en el momento (matemático) de la muerte.

Fuerza de la mortalidad

Entre los actuarios, fuerza de la mortalidad se refiere a lo que economistas y otros científicos sociales del tasa de riesgo y se interpreta como una tasa instantánea de mortalidad a una cierta edad medida sobre una base anualizada.

En un tabla de vida, consideramos la probabilidad de una persona muriendo entre () edadx) y la edad x+ 1; esta probabilidad se llama q_x. En el caso continuo, podríamos también considerar la probabilidad condicional que una persona que ha alcanzado la edad)x) morirán entre () edadx) y edad ()x+ Δx) como:

$P_ {\Delta x} (x) = P (x < X < x + \Delta \;x\mid \; X>x) = {\frac {F_ {X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}$$P_{{\Delta x}}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}$

donde F_X(x) es la función de distribución acumulativa del edad continuos en muerte variable aleatoria, X. Como Δx tiende a cero, también lo hace esta probabilidad en el caso continuo. La fuerza aproximada de mortalidad es esta probabilidad dividida por Δx. Si dejamos que Δx tienden a cero, obtenemos la función de fuerza de la mortalidad, denotado como μ(x):

$\mu \, (x) = {\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}$$\mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}$

Véase también

• Actuario
• Valor actual actuarial
• Ciencia actuarial
• Tasa de porcentaje anual
• Interés
• Tabla de vida
• Seguro de vida
• Matemáticas de las finanzas

Acoplamientos externos

• Descripción de 1949 en la Revista del Instituto de actuarios
• Suite de notación Actuarial internacional

Otras Páginas

• Razeh, Gilan
• 44.100 Hz
• Centro cardiovascular
• Cancer de pulmon (seccion de cuidados paliativos)
• Costo del indice de fondos
• Arriscope (microscopio quirurgico)
• Champerty y mantenimiento
• Cheque posfechado
• Samsung GT-E1150i