Equivalencia de fila

En Álgebra lineal, dos matrices son fila equivalente Si uno puede cambiarse a otro mediante una secuencia de operaciones elementales fila. Por otra parte, dos m×n las matrices son fila equivalente si y sólo si tienen el mismo espacio fila. El concepto se aplica comúnmente a las matrices que representan sistemas de ecuaciones lineales, en cuyo caso dos matrices de igual tamaño son fila equivalentes si y sólo si el correspondiente homogéneo los sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones o equivalente las matrices tienen el mismo espacio nulo.

Porque las operaciones elementales fila son reversibles, equivalencia de fila es un relación de equivalencia. Comúnmente se denota por un Tilde (~).

Hay una noción similar de equivalencia de columna, definido por las operaciones de la columna primaria; dos matrices son columna equivalente si y sólo si sus matrices de transposición son fila equivalente. Dos matrices rectangulares que pueden ser convertidas en otro permitiendo que las operaciones de columna y fila elemental se llaman simplemente equivalente.

Operaciones elementales fila

Un operación elemental fila es uno de los siguientes movimientos:

1. Swap: Intercambiar dos filas de una matriz.
2. Escala: Una fila de una matriz se multiplican por una constante distinto de cero.
3. Pivote: Añadir un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

Dos matrices A y B son fila equivalente Si es posible transformar A en B por una secuencia de operaciones elementales de fila.

Espacio fila

Artículo principal: Espacio fila

El espacio fila de una matriz es el conjunto de todo posible combinaciones lineales de sus vectores fila. Si las filas de la matriz representan una sistema de ecuaciones lineales, entonces el espacio fila consiste en los sistemas de ecuaciones lineales que puede deducirse de aquellos en el sistema algebraico. Dos m×n las matrices son fila equivalente si y sólo si tienen el mismo espacio fila.

Por ejemplo, las matrices

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \;\;\;\;\text{and}\;\;\;\; \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

son fila equivalente, el espacio fila siendo todos los vectores de la forma $\begin{pmatrix}a & b & b\end{pmatrix}$. Los correspondientes sistemas de ecuaciones homogéneas transmiten la misma información:

$\begin{matrix}x = 0 \\ y+z=0\end{matrix}\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;\begin{matrix} x=0 \\ x+y+z=0.\end{matrix}$

En particular, ambos de estos sistemas implican cada ecuación de la forma $ax+by+bz=0.\,$

Equivalencia de las definiciones

El hecho de que dos matrices son equivalente fila si y sólo si tienen el mismo espacio fila es un teorema importante en álgebra lineal. La prueba se basa en las observaciones siguientes:

1. Operaciones elementales fila no afectan el espacio fila de una matriz. En particular, las matrices equivalentes de cualquier dos fila tienen el mismo espacio fila.
2. Puede ser cualquier matriz reducido por operaciones elementales fila a una matriz en forma reducida fila echelon.
3. Dos matrices en forma de echelon reducido fila tienen el mismo espacio fila si y sólo si son iguales.

Esta línea de razonamiento demuestra también que cada matriz fila equivalente a una única matriz con forma fila reducido echelon.

Propiedades adicionales

• Porque el espacio nulo de una matriz es el complemento ortogonal de la espacio fila, dos matrices son equivalente fila si y sólo si tienen el mismo espacio nulo.
• El Rank de una matriz es igual a la dimensión Así el espacio fila, matrices equivalentes fila deben tener el mismo rango. Esto es igual al número de pivotes en forma reducida fila echelon.
• Una matriz es inversible Si y sólo si es equivalente a la fila del matriz identidad.

Véase también

• Operaciones elementales fila
• Espacio fila
• Base (álgebra lineal)
• Reducción de fila
• Formulario de echelon fila (reducido)

Referencias

• Axler, Jay Sheldon (1997), Álgebra lineal hecho bien (2do ed.), Springer-Verlag, ISBN0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.), Addison Wesley, ISBN978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis de la matriz y álgebra lineal aplicada, Sociedad para la matemática Industrial y aplicada (SIAM), ISBN978-0-89871-454-8
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: Una introducción moderna (2do ed.), arroyos/Cole, ISBN0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Primaria álgebra lineal (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall

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