Entrópico valor en riesgo

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En matemáticas financieras y Optimización Estocástica, el concepto de medida del riesgo se utiliza para cuantificar el riesgo de un resultado aleatorio o posición del riesgo. Hasta ahora se han propuesto muchas medidas de riesgo, cada uno con ciertas características. El entrópico value-at-risk (EVaR) es un medida de riesgo coherente introducido por Ahmadi-Javid,[1][2] que es un límite superior para el valor en riesgo (VaR) y la valor en riesgo condicional (CVaR), obtenidos de la Desigualdad Chernoff. El EVaR también puede ser representado mediante el uso del concepto de entropía relativa. Debido a su conexión con el VaR y la entropía relativa, esta medida del riesgo se llama "entrópico value-at-risk". El EVaR fue desarrollado para hacer frente a algunas ineficiencias computacionales[aclaración necesitado] de la variable. Obtener inspiración de la representación dual de la EVaR, Ahmadi-Javid[1][2] desarrollado una amplia clase de medidas de riesgo coherentes, llamado medidas de riesgo g-entrópico. El CVaR tanto el EVaR son miembros de esta clase.

Contenido

  • 1 Definición
  • 2 Propiedades
  • 3 Ejemplos
  • 4 Optimización
  • 5 Generalización (medidas de riesgo g-entrópico)
  • 6 Véase también
  • 7 Referencias

Definición

Dejar (\Omega,\mathcal{F},P) ser un espacio probabilístico con  \Omega un conjunto de todos los eventos simples,  \mathcal{F} un  \sigma -Álgebra de subconjuntos de  \Omega y  P un medida de la probabilidad en  \mathcal{F} . Dejar  X ser un variable aleatoria y  \mathbf{L}_{M^+} el conjunto de todos Borel mensurable funciones  X:\Omega\rightarrow \R cuyo Función generadora de momento  M_X(z) existe para todos  z\geq 0 . La entrópica value-at-risk (EVaR) de  X\in \mathbf{L}_{M^+} con nivel de confianza  1-\alpha se define como sigue:

\text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha)\}. \,









(1)

En finanzas, el variable aleatoria X \in \mathbf{L}_{M^+}, en la ecuación anterior, se utiliza al modelo de la pérdidas de una cartera.

Considerar la desigualdad Chernoff

\text{Pr}(X\geq a)\leq e^{-za}M_X(z),\quad \forall z>0.\,









(2)

Resolviendo la ecuación   e^{-za}M_X(z)=\alpha para  a , resulta en  a_X(\alpha,z):=z^{-1}\ln(M_X(z)/\alpha) . Teniendo en cuenta la ecuación)1), vemos que  \text{EVaR}_{1-\alpha}(X):=\inf_{z>0}\{a_X(\alpha,z)\} , que muestra la relación entre el EVaR y la desigualdad Chernoff. Es importante destacar  a_X(1,z) es el medida del riesgo entrópica o exponencial premium, que es un concepto usado en finanzas y seguros, respectivamente.

Dejar  \mathbf{L}_{M} el conjunto de todas las funciones medibles de Borel  X:\Omega\rightarrow \R cuya función generadora de momento  M_X(z) existe para todos  z. El representación doble (o representación sólida) de la EVaR es como sigue:

\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\sup_{Q\in \Im}(E_Q(X))\,









(3)

donde  X\in \mathbf{L}_{M} , y  \Im es un conjunto de medidas de probabilidad en  (\Omega,\mathcal{F}) con  \Im=\{Q\ll P:D_{KL}(Q||P)\leq-\ln\alpha\} . Tenga en cuenta que  D_{KL}(Q||P):=\int\frac{dQ}{dP}(\ln\frac{dQ}{dP})dP es el entropía relativa de  Q con respecto a  P, también llamado el Divergencia de Kullback-Leibler. La representación dual de la EVaR revela el motivo de su nombramiento.

Propiedades

  • El EVaR es una medida de riesgo coherente.
  • La función generadora de momento  M_X(z) puede ser representado por el EVaR: para todos  X\in \mathbf{L}_{M^+} y z>0

M_X(z)=\sup_{0<\alpha\leq 1}\{\alpha\exp(z\text{EVaR}_{1-\alpha}(X))\}.\,









(4)

  • Para  X,Y\in\mathbf{L}_M ,  \text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\text{EVaR}_{1-\alpha}(Y) para todos  \alpha\in]0,1] Si y sólo si  F_X(b)=F_Y(b) para todos  b\in\R .
  • La medida del riesgo entrópica con parámetro  \theta , puede ser representado mediante el EVaR: para todos  X\in \mathbf{L}_{M^+} y  \theta>0

\theta^{-1}\ln M_X(\theta)=a_X(1,\theta)=\sup_{0<\alpha\leq 1}\{\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)+\theta^{-1}\ln\alpha\}.\,









(5)

  • El EVaR con nivel de confianza  1-\alpha es el límite superior posible más apretado que pueden obtenerse de la desigualdad Chernoff para el VaR y el CVaR con nivel de confianza  1 - \alpha;

\text{VaR}(X)\leq \text{CVaR}(X)\leq\text{EVaR}(X).\,









(6)

  • La desigualdad siguiente depara el EVaR:

\text{E}(X)\leq\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)\leq\text{esssup}(X)\,









(7)

donde  \text{E}(X) es el valor esperado de  X y  \text{esssup}(X) es el supremum esencial de X, es decir, \inf_{t\in\R}\{t:\text{Pr}(X\leq t)=1\} . Así que no  \text{EVaR}_0(X)=\text{E}(X) y  \lim_{\alpha\rightarrow 0}\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\text{esssup}(X) .

Ejemplos

Comparando el VaR, CVaR y EVaR para la distribución normal estándar
Comparando el VaR, CVaR y EVaR para la distribución uniforme en el intervalo (0,1)

Para  X\sim N(\mu,\sigma) ,

\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\mu+\sqrt{-2\ln\alpha}\sigma.\,









(8)

Para  X\sim U(a,b) ,

\text{EVaR}_{1-\alpha}(X)=\inf_{t>0}\left\lbrace
t\ln\left(t\frac{e^{t^{-1}b}-e^{t^{-1}a}}{b-a}\right)-t\ln\alpha
\right\rbrace.
\,









(9)

Las figuras 1 y 2 muestran la comparación del VaR, CVaR y EVaR para  N(0,1) y  U(0,1) .

Optimización

Dejar  \rho ser una medida de riesgo. Considerar el problema de optimización

\min_{\boldsymbol{w}\in \boldsymbol{W}}\rho(G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi}))\,









(10)

donde  \boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}\subseteq\R^n es un   n-dimensional real vector de decisión,  \boldsymbol{\psi} es un   m-dimensional real vector aleatorio con un conocido distribución de probabilidad y la función  G(\boldsymbol{w},.):\R^m\rightarrow\R es una función medible Borel para todos los valores  \boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W} . If  \rho es el  \text{EVaR} , entonces el problema (10) se convierte como sigue:

\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t>0}\{t\ln M_{G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi})}(t^{-1})-t\ln\alpha\}.\,









(11)

Dejar  \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{\psi}} ser el soporte del vector aleatorio \boldsymbol{\psi} . If  G(.,\boldsymbol{s}) es convexo para todos  \boldsymbol{s}\in\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{\psi}} , entonces la función objetivo de la (problema11) también es convexo. If  G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi}) tiene la forma

G(\boldsymbol{w},\boldsymbol{\psi})=g_0(\boldsymbol{w})+\sum_{i=1}^mg_i(\boldsymbol{w})\psi_i,\quad g_i:\R^n\rightarrow\R, i=0,1,\dots,m,\,









(12)

y  \psi_1,\dots,\psi_m son variables aleatorias independientes en  \mathbf{L}_M , entonces ()11) se convierte en

\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t>0}\left\lbrace
g_0(\boldsymbol(w))+t\sum_{i=1}^m\ln M_{g_i(\boldsymbol(w))\psi_i}(t^{-1})-t\ln\alpha
\right\rbrace.\,









(13)

que es computacionalmente manejable. Pero para este caso, si uno utiliza el CVaR en problema (10), entonces el problema resultante se convierte como sigue:

\min_{\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{W}, t\in\R}\left\lbrace
t+\frac{1}{\alpha}\text{E}\left[
g_0(\boldsymbol{w})+\sum_{i=1}^{m}g_i(\boldsymbol{w})
\psi_i-t
\right]_+
\right\rbrace.\,









(14)

Puede ser demostrado al aumentar la dimensión de  \psi , (problema14) es computacionalmente intratable incluso para casos sencillos. Por ejemplo, supongamos  \psi_1,\dots,\psi_m son independientes variables aleatorias discretas esa toma   k valores distintos. Para valores fijos de  \boldsymbol{w} y   t, la complejidad de la función objetivo dada en (problema de computación13) es de orden mk mientras el tiempo de computación para la función objetivo del problema)14) es de orden  k^m . Por ejemplo, asuma que k= 2, m= 100 y lleva a la suma de dos números 10^{-12} segundos. Para calcular la función objetivo del problema)14) uno necesita sobre 4\times 10^{10} años, considerando que la evaluación de la función objetivo del problema ()13) tarda aproximadamente 10^{-10} segundos. Esto demuestra que la formulación con la EVaR supera la formulación con el CVaR (véase [2] para más detalles).

Generalización (medidas de riesgo g-entrópico)

Inspirándose en la representación dual de la EVaR dada en)3), se puede definir una amplia clase de medidas de riesgo coherentes información teórica, que se introducen en.[1][2] Dejar  g ser una convexa funcionamiento con  g(1)=0 y  \beta ser un número no negativo. El  g -medida del riesgo entrópica con nivel de divergencia  \beta se define como

\text{ER}_{g,\beta}(X):=\sup_{Q\in\Im}\text{E}_Q(X)\,









(15)

donde  \Im=\{Q\ll P:H_g(P,Q)\leq\beta\} en el cual  H_g(P,Q) es el entropía generalizada relativa de  Q con respecto a  P . Una representación primitiva de la clase de g-medidas de riesgos antrópicos pueden obtenerse de la siguiente manera:

\text{ER}_{g,\beta}(X)=\inf_{t>0,\mu\in\R}\left\lbrace
t\left[
\mu+\text{E}_P\left(
g^*\left(
\frac{X}{t}-\mu+\beta
\right)
\right)
\right]
\right\rbrace\,









(16)

donde  g^* es el conjugado de  g . Teniendo en cuenta

g(x)=\begin{cases}
x\ln x & x>0 \\ 
0 & x=0 \\ 
+\infty & x<0, 
\end{cases} 
\,









(17)

con g^*(x)=e^{x-1} y  \beta=- \ln\alpha, se deduce la fórmula EVaR. El CVaR es también un g-medida del riesgo entrópico, que puede obtenerse en ()16) mediante el establecimiento de

g(x)=\left\lbrace
\begin{array}{lr}
0 & 0\leq x\leq \frac{1}{\alpha} \\ 
+\infty & \text{otherwise}, 
\end{array} 
\right.
\,









(18)

con  g^*(x)=\frac{1}{\alpha}\max\{0,x\} y  \beta=0 (véase [1][3] para más detalles).

Para obtener más resultados en g-Ver medidas de riesgos antrópicos.[4]

Véase también

  • Optimización Estocástica
  • Medida del riesgo
  • Medida de riesgo coherente
  • Valor en riesgo
  • Valor en riesgo condicional
  • Déficit esperado
  • Medida del riesgo entrópica
  • Divergencia de Kullback-Leibler
  • Entropía generalizada relativa

Referencias

  1. ^ a b c d Ahmadi-Javid, Amir (2011). Un enfoque teórico-información para construir medidas de riesgo coherentes. San Petersburgo, Rusia: Actas de IEEE International Symposium on teoría de la información. 2125 pp. – 2127. Doi:10.1109/ISIT.2011.6033932.
  2. ^ a b c d Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Value-at-risk entrópico: una nueva medida de riesgo coherente". Diario de optimización teoría y aplicaciones 155 (3): 1105-1123. Doi:10.1007/s10957-011-9968-2.
  3. ^ Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Adenda: entrópico Value-at-Risk: una nueva medida de riesgo coherente". Diario de optimización teoría y aplicaciones 155 (3): 1124-1128. Doi:10.1007/s10957-012-0014-9.
  4. ^ Breuer, Thomas; Csiszar, Imre (2013). "Medición de riesgo del modelo de distribución". arXiv:1301.4832v1.

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